soma de fraçoes

Quando as frações possuem o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador.


o entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.

Ex:

Nesse caso os denominadores são diferentes, portanto devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la.

mmc (4,3) = 12

O MMC entre 4 e 3 é o 12 , sabemos disso pois o 12 é o menor número que pode ser dividido pelos dois denominadores (4,3).

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 12 pelo denominador de cada fração e mutiplicar o resultado da divisão pelo numerador.



Portanto fica assim:



Resolva:



Resposta:

Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum das duas frações, antes dos somar, primeiro.

Para os denominadores aqui, os 8 e 3, um denominador comum para ambos é 24 .
Com o denominador comum,

o se torna

o se torna

Agora o problema é somar com

Desde que estas duas frações tenham os mesmos denominadores (os números debaixo da barra de fração), nós podemos os somar os numeradores simplesmente ( 75 e 136 = 211 ), enquanto mantemos o mesmo denominador ( 24 ) .

Nossa resposta aqui é:

A fração é uma fração imprópria (o numerador é maior que o denominador).

Não há nada errado, você até poderia deixar a fração dessa maneira, mas podemos ainda simplificar um pouco mais essa fração, descobrindo o número inteiro dessa fração.

Achamos o número inteiro dividindo o numerador 211 pelo denominador 24 .

Neste caso nós obtemos 8 .

A parte fracionária do número é encontrada usando o remanescente da divisão,

neste caso o 19, (211 divididos por 24 = 8 resto = 19).

Portanto a resposta final é:



Segundo caso:
O problema agora é somar

Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum das duas frações, antes dos somar.


Para os denominadores aqui, os 9 e 8 , um denominador comum para ambos é 72 .

Agora o processo é o mesmo que já fizemos, dividimos o denominador comum achado (72) pelo dennominador de cada fração e mutiplicamos o resultado achado pelo numerador, ficando assim:



Como chegamos a essa conclusão? O denominador comum achado foi 72.
Na fração dividimos o denominador comum ( 72 ) pelo denominador da expressão ( 9 ), o resultado obtido ( 8 ) multiplicamos pelo numerador ( 8 ) e obtivemos 64 . fizemos o mesmo na segunda fração.

Agora o problema é somar:

Desde que estas duas frações tenham os mesmos denominadores ( os números debaixo da barra de fração ), nós podemos os somar os numeradores ( 64 + 225 = 289 ), enquanto mantemos o mesmo denominador ( 72 ).

Obtemos a seguinte resposta:

A Fração é uma fração imprópria ( o numerator é maior que o denominador ). Novamente vamos achar o número inteiro dividindo 289 por 72 o resultado é 4 e o resto é 1 . Agora somamos os números inteiros e montamos a fração.

O Resultado final é:




Terceiro Caso

O Problema agora é o seguinte: Somar

Mais uma vez vamos achar o denominador comum das duas frações antes de somar. O denominador comum entre 3 e 8 é 24 .

Agora o processo é o mesmo das outras operações que já fizemos, achado o denominador comum, efetuamos as operações, assim, o fica e o fica .

Agora o problema é somar:

Como o denominador é o mesmo, conservamos o denominador e somamos os numeradores: 56 + 15 = 71

E também somamos as partes inteiras: 2 + 1 = 3

obtemos a seguinte resposta:

Como o numerador é maior que o denominador podemos simplificar ainda mais essa fração.

71 / 24 = 2 e o resto é 23

Somamos os números inteiros: 3 + 2 = 5 e montamos a fração.

O Resultado final é:

produtos notaveis

Quadrado da soma de dois termos

(a+b)² = a² + b² + 2ab

Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4


Quadrado da diferença de dois termos

(a-b)² = a² + b² - 2ab

Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5


Diferença de potências (ordem 2)

a² - b² = (a+b)(a-b)

Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)


Cubo da soma de dois termos

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³


Cubo da soma de dois termos na forma simplificada

(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²

Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²


Cubo da diferença de dois termos

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³


Identidade de Fibonacci

(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²

Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²


Identidade de Platão

(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²

Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²


Identidade de Lagrange (4 termos)

(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²

Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²


Identidade de Lagrange (6 termos)

(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²

Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²


Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)

Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)


Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)

Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)


Quadrado da soma de n termos



sendo que i<j.

Exemplos:(a+b)²=a²+b²+2(ab) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)



Cubo da soma de n termos



sendo que i<j e i<j<k.


Diferença entre os quadrados da soma e diferença

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9


Soma dos quadrados da soma e da diferença

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)

Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)


Soma de dois cubos

a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)


Soma de dois cubos na forma fatorada

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)


Transformação do produto na diferença de quadrados

ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²

Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²


Diferença de potências (ordem 4)

a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)

Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)


Diferença de potências (ordem 6)

a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)

Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)


Diferença de potências (ordem 8)

a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)

Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)


Produto de três diferenças

(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)

Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)


Produto de três somas

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc

Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5


Soma de cubos das diferenças de três termos

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)


Cubo da soma de três termos

(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc

Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9


Soma nula de produtos de cubos por diferenças

a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0

Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0


Soma de produtos de cubos com diferenças

a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)

Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)


Produto de dois fatores homogêneos de grau dois

(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4

Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74


Soma de quadrados de somas de dois termos

(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²

Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²


Produto de quadrados de fatores especiais

(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)²

Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)²


Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1

(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)

Exemplo:(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)



Identidade de interpolação



Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos: